Question

某種項目的射擊比賽，開始時在距目標100m處射擊，如果命中記3分，且停止射擊；若第一次射擊未命中，可以進行第二次射擊，但目標已在150m處，這時命中記2分，且停止射擊；若第二次仍未命中，還可以進行第三次射擊，此時目標已在200m處，若第三次命中則記1分，并停止射擊；若三次都未命中，則記0分，且比賽結束．已知射手甲在100m處擊中目標的概率為，他的命中率與目標的距離的平方成反比，且各次射擊都是獨立的．
（1）求射手甲在這次射擊比賽中命中目標的概率；
（2）求射手甲在這次射擊比賽中得分的數學期望．

Answer 1

（1）

．
（2）．

本試題主要是考查了概率、獨立事件概率的乘法公式，以及對立事件的運用。
（1）根據已知條件，設出所求解的事件，然后利用獨立事件的乘法公式分情況討論，結合互斥事件的加法公式得到結論。
（2）根據隨機變量射手甲得分為X，根據得分的情況分別求解概率值，得到分布列和期望值。
解：記第一、二、三次射擊命中目標分別為事件，三次都未擊中目標為事件D，依題意，設在m處擊中目標的概率為，則，且，
，即，                                。。。。。。。。。。
，，．。。。。。。。。。。。。
（1）  由于各次射擊都是相互獨立的，
∴該射手在三次射擊中擊中目標的概率


．                  。。。。。
（2）依題意，設射手甲得分為X，則，
，，，。。。。。。。
．   。。。。。。。。。。。。。。。。。。