Question

（2007•長寧區一模）給出下列命題：
（1）存在實數α使sinα+cosα=

3

2

．
（2）直線x=-

π

2

是函數y=sinx圖象的一條對稱軸．
（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．
（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，則tanα＞tanβ．
其中正確命題的題號為（　　）

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（3）（4）

D．（1）（4）

Answer 1

分析：（1）利用輔助角公式將sinα+cosα=

2

 sin(α+

π

4

)可判斷（1）；
（2）根據函數y=sinx圖象的對稱軸方程可判斷（2）；
（3）根據余弦函數的性質可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值與最小值，從而可判斷（3）的正誤；
（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判斷（4）．

解答：解：（1）∵sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)＜

3

2

，∴（1）錯誤；
（2）∵y=sinx圖象的對稱軸方程為x=kπ+

π

2

(k∈Z)，k=-1，x=-

π

2

，∴（2）正確；
（3）根據余弦函數的性質可得y=cos（cosx）的最大值為y_max=cos0=1，y_min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正確；
（4）不妨令α=

9

4

π，β=

π

3

，滿足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）錯誤；
故選B．

點評：本題考查正弦函數與余弦函數、正切函數的性質，著重考查學生綜合運用三角函數的性質分析問題、解決問題的能力，屬于中檔題．