Question

函數(shù)f(x)=

x+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．

Answer 1

分析：（I）已知函數(shù)f(x)=

x+b

1+x2

是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的定義f（-x）=-f（x），求出b的值，從而求出函數(shù)f（x）的解析式；
（II）可以 設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，根據(jù)定義法判斷f（x₂）-f（x₁）與0的大小關(guān)系，從而進行證明；

解答：解：（ I）∵函數(shù)f（x）是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）…（2分）
故

-x+b

1+x2

=-

x+b

1+x2

，
所以b=0，…（4分）
所以 f(x)=

x

1+x2

．…（5分）
（ II） 設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，△x=x₂-x₁＞0，…（6分）
則△y=f（x₂）-f（x₁）=

x2

1+ x 2 2

-

x1

1+ x 2 1

=

x2-x1+x2 x 2 1 -x1 x 2 2

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

=

△x(1-x1x2)

(1+ x 2 1 )(1+ x 2 2 )

…（8分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴△x=x₂-x₁＞0，1-x₁x₂＞0…（10分）
∴而 1+

x

2 1

＞0，1+

x

2 2

＞0，
∴△y=f（x₂）-f（x₁）＞0…（11分）
∴f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．…（12分）

點評：此題主要考查奇函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，利用定義法求證函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是會化簡，此題是一道基礎(chǔ)題；