Question

已知命題p：方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示雙曲線；命題q：過點(diǎn)M（2，1）的直線與橢圓

x2

5

+

y2

k

=1恒有公共點(diǎn)，若p與q中有且僅有一個(gè)為真命題，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：由命題p：方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示雙曲線，知（k-4）（k-6）＜0；由命題q：過點(diǎn)M（2，1）的直線與橢圓

x2

5

+

y2

k

=1恒有公共點(diǎn)，知M在橢圓內(nèi)．再由p與q中有且僅有一個(gè)為真命題，知p真q假，或p假q真．分別
討論，能求出k的取值范圍．

解答：解：∵命題p：方程

x2

k-4

+

y2

k-6

=1表示雙曲線，
∴（k-4）（k-6）＜0，解得4＜k＜6
∵命題q：過點(diǎn)M（2，1）的直線與橢圓

x2

5

+

y2

k

=1恒有公共點(diǎn)，
∴M在橢圓內(nèi)，即

22

5

+

12

k

＜1，且k＞0，解得k＞5
∵p與q中有且僅有一個(gè)為真命題，
∴p真q假，或p假q真
當(dāng)p真q假時(shí)，

4＜k＜6 k≤5

，解得4＜k≤5；
當(dāng)p假q真時(shí)，

k≤4或k≥6 k＞5

，解得k≥6．
綜上取并集，得k的取值范圍{k|4＜k≤5或k≥6}．

點(diǎn)評(píng)：本題考查參數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要涉及到雙曲線、橢圓、命題等基本知識(shí)點(diǎn)，要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．