Question

已知命題P：方程x²-2mx+m=0沒有實數根；
命題Q：?x∈R，x²+mx+1≥0．
（1）寫出命題Q的否定“￢Q”；
（2）如果“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據命題的否定定義，寫出命題Q的否定“￢Q”；
（2）分別求出命題P，Q為真命題的等價條件，然后利用P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，求實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵命題Q：?x∈R，x²+mx+1≥0．為全稱命題，
∴￢Q：?x∈R，x²+mx+1＜0．
（2）若方程x²-2mx+m=0沒有實數根，
則△=4m²-4m＜0，解得0＜m＜1，即P：0＜m＜1．
若：?x∈R，x²+mx+1≥0，則m²-4≤0，
解得-2≤m≤2，即Q：-2≤m≤2，
∵“P∨Q”為真命題，“P∧Q”為假命題，
∴P，Q兩命題為一真一假，
若P真Q假，則

0＜m＜1 m＞2或m＜-2

，此時無解．
或P假Q真，則

m≤0或m≥1 -2≤m≤2

，解得-2≤m≤0或1≤m≤2．

點評：本題主要考查含有量詞的命題的否定以及復合命題真假的應用，求出命題成立的等價條件是解決此類問題的關鍵．