Question

【題目】如圖,橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為,橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的周長(zhǎng)為,離心率為.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),問(wèn)在軸上是否存在定點(diǎn),使得為定值？證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓的定義和離心率公式、以及a，b，c的關(guān)系，求出a的值，進(jìn)而可求b的值，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)此時(shí)直線的方程為代入橢圓的方程,消去并整理得，利用韋達(dá)定理表示，從而得到定點(diǎn)，檢驗(yàn)直線l的斜率不存在時(shí)也適合題意.

,．

（Ⅰ）由題設(shè)得2a+2c=6,又e==,解得a=2，c=1,∴b=.

故橢圓的方程為.

（Ⅱ）右焦點(diǎn)為（1，0），當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)此時(shí)直線的方程為,

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）,把,代入橢圓的方程,消去并整理得,

,則,

可得.設(shè)點(diǎn),

那么 ,

,

若軸上存在定點(diǎn),使得為定值,則有,解得,

此時(shí),

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),此時(shí)直線l的方程為x=1,把x=1代入橢圓方程解得,

此時(shí),,

綜上,在軸上存在定點(diǎn),使得為定值.