Question

【題目】已知函數，（）.

（Ⅰ）若函數有且只有一個零點，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）設，若，若函數對恒成立，求實數的取值范圍.（是自然對數的底數，）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）首先確定函數定義域為，求出導數；當時，可知函數單調遞增，根據可知滿足題意；當時，可求得導函數的零點；當零點可知滿足題意；當或結合函數的單調性和零點存在性定理可判斷出存在不止一個零點，不滿足題意；綜合上述情況得到結果；（Ⅱ）當時，可知，得到，滿足題意；當時，根據符號可知單調遞增，由零點存在性定理可驗證出，使得，從而得到在上單調遞減，則，不滿足題意，從而得到結果.

（Ⅰ）由題意得：定義域為，則

①當時，恒成立 在上單調遞增

又 有唯一零點，即滿足題意

②當時

當時，；當時，

即在上單調遞減，在上單調遞增

⑴當，即時，，有唯一零點，滿足題意

⑵當，即時，

又，且

，使得，不符合題意

⑶當，即時，

設，，則

在上單調遞增 ，即

又 ，使得，不符合題意

綜上所述：的取值范圍為：

（Ⅱ）由題意得：，則，

①當時，由得：恒成立

在上單調遞增

即滿足題意

②當時，恒成立 在上單調遞增

又，

，使得

當時，，即在上單調遞減

，則不符合題意

綜上所述：的取值范圍為：