Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）首先求導(dǎo)得到，再分別討論，，和時(shí)的單調(diào)性即可.

（2）根據(jù)（1）的單調(diào)性分別討論，，，和時(shí)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

（1）.

①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間單調(diào)遞減.

②當(dāng)時(shí)，令，，，且，

則在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間和 單調(diào)遞減.

③當(dāng)時(shí)，令，，

成立，則在R上單調(diào)遞減；

④當(dāng)時(shí)，令，，，且，

則在區(qū)間單調(diào)遞增；在區(qū)間和單調(diào)遞減.

（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知，.

則在區(qū)間有且只有一零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，，則，

故

則在區(qū)間有且只有一零點(diǎn).滿足題意；

當(dāng)時(shí)，，易知有且只有一個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，若，

在區(qū)間單調(diào)遞減，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)， 在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，

，故不存在兩個(gè)零點(diǎn)；

綜上所述：當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn).