Question

（2013•鷹潭一模）已知非零向量

a

，

b

滿足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|=

2 3

3

|

a

|，則

a

+

b

與

a

-

b

的夾角為

π

3

．

Answer 1

分析：由條件可得 

a

⊥

b

，|

a

|=

3

|

b

|，故以

OA

=

a

OB

=

b

為臨邊的平行四邊形OACB為矩形，設OC∩AB=M，則∠AMC為

a

+

b

與

a

-

b

的夾角θ，設OB=1，則OA=

3

，
MC=MA=

OC

2

=1，可得△ACM為等邊三角形，由此求得θ 的值．

解答：解：∵已知非零向量

a

，

b

滿足|

a

+

b

|=|

a

-

b

|=

2 3

3

|

a

|，可得

a

2+2

a

•

b

+

b

2=

a

2-2

a

•

b

+

b

2=

4

3

a

2，
故有

a

•

b

=0，

a

2=3

b

2，即

a

⊥

b

，|

a

|=

3

|

b

|，故以

OA

=

a

 

OB

=

b

為臨邊的平行四邊形OACB為矩形，
設OC∩AB=M，則∠AMC為

a

+

b

與

a

-

b

的夾角θ，設OB=1，則OA=

3

，MC=MA=

OC

2

=1，如圖所示．
可得△ACM為等邊三角形，∴θ=

π

3

，
故答案為

π

3

．

點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，兩個向量垂直的條件，屬于中檔題．