Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），A₁，A₂是實軸頂點，F是右焦點，B（0，b）是虛軸端點，若在線段BF上（不含端點）存在不同的兩點p₁（i=1，2），使得△P_iA₁A₂（i=1，2）構成以A₁A₂為斜邊的直角三角形，則雙曲線離心率e的取值范圍是（　　）

• A、（

  2

  ，+∞）
• B、（

  5 +1

  2

  ，+∞）
• C、（1，

  5 +1

  2

  ）
• D、（

  2

  ，

  5 +1

  2

  ）

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出直線BF的方程為bx+cy-bc=0，利用直線與圓的位置關系，結合a＜b，即可求出雙曲線離心率e的取值范圍．

解答： 解：由題意，F（c，0），B（0，b），則直線BF的方程為bx+cy-bc=0，
∵在線段BF上（不含端點）存在不同的兩點P_i（i=1，2），使得△P_iA₁A₂（i=1，2）構成以線段A₁A₂為斜邊的直角三角形，
∴

bc

b2+c2

＜a，
∴e⁴-3e²+1＜0，
∵e＞1，
∴e＜

5 +1

2

∵a＜b，
∴a²＜c²-a²，
∴e＞

2

，
∴

2

＜e＜

5 +1

2

．
故選：D．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質，考查離心率，考查直線與圓的位置關系，屬于中檔題．