Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點F₁，F₂距離為4，直線了l₁：x=-

a2

c

與x軸交于點Q（-3，0）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點Q且傾斜角為30°的直線l交橢圓于A，B兩點，求證：點F₁（-2，0）在以線段AB為直徑的圓上．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，直線l上有兩個不重合的動點C，D，求以CD為直徑且過點F₁的所有圓中，面積最小的圓的半徑長．

Answer 1

分析：（I）由題意可得

2c=4 - a2 c =-3 a2=b2+c2

，解得即可；
（II）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線l的方程為y=

3

3

(x+3)，與橢圓的方程聯立得到根與系數的關系，利用數量積只要證明

F1A

•

F1B

=0即可；
（III）利用點到直線的距離公式得出：點F₁到直線ly=

3

3

(x+3)距離d，并以d=r得到的圓的面積最小．

解答：解：（I）由題意可得

2c=4 - a2 c =-3 a2=b2+c2

，解得a²=6，b²=2，c=2．
∴橢圓的方程為

x2

6

+

y2

2

=1．
（II）直線l的方程為y=

3

3

(x+3)，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯立

y= 3 3 (x+3) x2 6 + y2 2 =1

，化為2x²+6x+3=0，可得△＞0．
∴x₁+x₂=-3，x1x2=

3

2

．
∵

F1A

•

F1B

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂
=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+

1

3

(x1+3)(x2+3)
=

4

3

x1x2+3(x1+x2)+7=

4

3

×

3

2

+3×(-3)+7=0，
∴

F1A

⊥

F1B

．
∴點F₁（-2，0）在以線段AB為直徑的圓上．
（III）點F₁到直線l：y=

3

3

(x+3)即x-

3

y+3=0的距離d=

|-2+3|

12+(- 3 )2

=

1

2

．
以r=

1 2

=

2

2

為半徑的圓的面積最小．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題轉化為方程聯立得到根與系數的關系、數量積與向量垂直的關系、點到直線的距離公式、圓的性質等基礎知識與基本技能方法，屬于難題．