Question

【題目】已知函數f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)．

(1)證明：函數f(x)是偶函數；

(2)利用絕對值及分段函數知識，將函數解析式寫成分段函數的形式，然后畫出函數圖象；

(3)寫出函數的值域．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）[2，＋∞)．

【解析】試題分析：（1）先確定定義域關于原點對稱，再根據f(－x)與f(x)相等得偶函數（2）根據絕對值定義將函數分成三段，通過描點畫函數圖像（3）根據函調圖像可得函數最小值，無最大值，即得函數值域

試題解析：解： (1)證明：∵f(－x)＝|－x－1|＋|－x＋1|＝|－(x＋1)|＋|－(x－1)|＝|x＋1|＋|x－1|＝f(x)，

∴函數f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)為偶函數．

(2)由x－1＝0，得x＝1；由x＋1＝0，得x＝－1.

當x<－1時，f(x)＝－2x；

當－1≤x≤1時，f(x)＝2；

當x>1時，f(x)＝2x.

∴f(x)＝f(x)的圖象如圖所示．

(3)由函數圖象知，函數的值域為[2，＋∞)．