Question

如圖，直角三角形ABC的頂點A的坐標為（-1，0），直角頂點B的坐標為(0，-

3

)，頂點C在x軸上．求：
（1）求點C的坐標及△ABC的外接圓M的方程；
（2）設△ABC的外接圓M的圓心為點M，另有一個定點N（-3，-4），作出一個以MN為直徑，G為圓心的圓，記為圓G，圓M和圓G交于點P和點Q，直線NP，NQ是圓M的切線嗎？請說明理由；
（3）求直線PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）求出直線BC的方程，可得點C的坐標，根據△ABC為直角三角形，確定△ABC的外接圓M的圓心與半徑，從而可求方程；
（2）求出圓G的方程，利用切線的定義，即可得到結論；
（3）兩圓方程相減，可得直線PQ的方程．

解答：解：（1）由題意可知：kAB=-

3

，∴kBC=

3

3

，
直線BC的方程為：y+

3

=

3

3

(x-0)，令y=0，則x=3，所以點C的坐標為（3，0），
∵△ABC為直角三角形，∴△ABC外接圓的圓心為線段AC的中點M（1，0），半徑為

1

2

|AC|=2，
∴圓M的方程為：（x-1）²+y²=4；
（2）∵M（1，0），N（-3，-4）
∴線段MN的中點為G（-1，-2），|MN|=4

2

∴圓G的方程為：（x+1）²+（y+2）²=8
∵MN為圓G的直徑，P，Q為圓G上的點
∴PM⊥PN，QM⊥QN
∴直線NP，NQ是圓M的切線；
（3）∵圓M的方程為：（x-1）²+y²=4，圓G的方程為：（x+1）²+（y+2）²=8，
∴兩圓方程相減，可得直線PQ的方程為x+y=0．

點評：本題考查圓的方程，考查直線與圓、圓與圓的位置關系，屬于中檔題．