Question

【題目】在平面直角坐標系中，動圓與圓外切，與圓內切．

（1）求動圓圓心的軌跡方程；

（2）直線過點且與動圓圓心的軌跡交于、兩點．是否存在面積的最大值，若存在，求出的面積；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，面積的最大值為，理由見解析.

【解析】

（1）設動圓的半徑為，利用幾何關系轉化兩圓內切和外切的問題，可得出，可得知點的軌跡是以點、為焦點的橢圓，并設該橢圓的方程為，利用橢圓的定義求出的值，可求出的值，由此可得出動點的軌跡方程；

（2）設直線的方程為，設點、，將直線的方程與橢圓的方程聯立，列出韋達定理，并計算出的面積關于的表達式，換元，利用雙勾函數的單調性可得出面積的最大值.

（1）設點，動圓的半徑為，

由題意知，，，

由橢圓定義可知，動圓圓心在以、為焦點的橢圓上，

設該橢圓的方程為，且，，.

由于圓內切于圓于點，則.

因此，動圓圓心的軌跡方程為；

（2）存在面積的最大值.

因為直線過點，可設直線的方程為或（舍）．

則，整理得 ．

由．

設點、，則，.

則，

因為．

設，則，則.

設在區間上為增函數，所以．

所以，當且僅當時取等號，即．

因此，面積的最大值為．