Question

【題目】已知函數f（x）= ，曲線y=f（x）在點x=e2處的切線與直線x﹣2y+e=0平行．
（1）若函數g（x）= f（x）﹣ax在（1，+∞）上是減函數，求實數a的最小值；
（2）若函數F（x）=f（x）﹣ 無零點，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ，得 ，解得m=2，

故 ，則 ，函數g（x）的定義域為（0，1）∪（1，+∞），

而 ，又函數g（x）在（1，+∞）上是減函數，

∴ 在（1，+∞）上恒成立，

∴當x∈（1，+∞）時， 的最大值．

而 ，即右邊的最大值為 ，

∴ ，故實數a的最小值 ；

（2）解：由題可得 ，且定義域為（0，1）∪（1，+∞），

要使函數F（x）無零點，即 在（0，1）∪（1，+∞）內無解，

亦即 在（0，1）∪（1，+∞）內無解．

構造函數 ，則 ，

1）當k≤0時，h'（x）＜0在（0，1）∪（1，+∞）內恒成立，

∴函數h（x）在（0，1）內單調遞減，在（1，+∞）內也單調遞減．

又h（1）=0，∴當x∈（0，1）時，h（x）＞0，即函數h（x）在（0，1）內無零點，

同理，當x∈（1，+∞）時，h（x）＜0，即函數h（x）在（1，+∞）內無零點，

故k≤0滿足條件；

2）當k＞0時， ．

①若0＜k＜2，則函數h（x）在（0，1）內單調遞減，在 內也單調遞減，在 內單調遞增．

又h（1）=0，∴h（x）在（0，1）內無零點；

又 ，而 ，故在 內有一個零點，∴0＜k＜2不滿足條件；

②若k=2，則函數h（x）在（0，1）內單調遞減，在（1，+∞）內單調遞增．

又h（1）=0，∴當x∈（0，1）∪（1，+∞）時，h（x）＞0恒成立，故無零點．∴k=2滿足條件；

③若k＞2，則函數h（x）在 內單調遞減，在 內單調遞增，在（1，+∞）內也單調遞增．

又h（1）=0，∴在 及（1，+∞）內均無零點．

易知 ，又h（e﹣k）=k×（﹣k）﹣2+2ek=2ek﹣k2﹣2=（k），

則'（k）=2（ek﹣k）＞0，則（k）在k＞2為增函數，∴（k）＞（2）=2e2﹣6＞0．

故函數h（x）在 內有一零點，k＞2不滿足．

綜上：k≤0或k=2

【解析】（1）求出原函數的導函數，得到函數在x=e2處的導數，由導數值等于 求得m值，得到 ，進一步求得 ，利用函數g（x）在（1，+∞）上是減函數，可得 在（1，+∞）上恒成立，分離參數a，得 ．利用配方法求得右邊的最大值可得實數a的最小值；（2）由題可得 ，且定義域為（0，1）∪（1，+∞），若函數F（x）無零點，即 在定義域內無解，構造函數 ，得 ，分當k≤0和k＞0分類分析得答案．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用利用導數研究函數的單調性的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．