Question

【題目】如圖，四棱錐C的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，∠PDA=45°，點E、F分別為棱AB、PD的中點．

（1）求證：AF∥平面PEC

（2）求證：平面PCD⊥平面PEC；

（3）求三棱錐C-BEP的體積．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）

【解析】

19、證明: （Ⅰ）取PC的中點G，連結FG、EG，

∴FG為△CDP的中位線，

∴FGCD，……………………………………… 1分

∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點，

∴ABCD，Z.X.X.K]

∴FGAE，

∴四邊形AEGF是平行四邊形，

∴AF∥EG，

又EG平面PCE，AF平面PCE，………… 3分

∴AF∥平面PCE；……………………………… 4分

（Ⅱ）∵ PA⊥底面ABCD，

∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A，

∴CD⊥平面ADP，

又AF平面ADP，∴CD⊥AF，…………………………………………………………… 6分

直角三角形PAD中，∠PDA=45°，

∴△PAD為等腰直角三角形，

∴PA＝AD=2，……………………………………………………………………………… 7分

∵F是PD的中點，

∴AF⊥PD，又CDPD=D，

∴AF⊥平面PCD，…………………………………………………………………………… 8分

∵AF∥EG，

∴EG⊥平面PCD，…………………………………………………………………………… 9分

又EG平面PCE，

平面PCE⊥平面PCD；……………………………………………………………………… 10分

（Ⅲ）三棱錐C－BEP即為三棱錐P－BCE，………………………………………… 11分

PA是三棱錐P－BCE的高，

Rt△BCE中，BE=1，BC=2，

∴三棱錐C－BEP的體積

V三棱錐C－BEP=V三棱錐P－BCE

=．…………… 14分