Question

【題目】如圖四棱柱中，，，，M為的中點.

（1）證明：平面；

（2）若四邊形是菱形，且面面，，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點N，連接，，可證四邊形是平行四邊形，可得，進一步可證平面；

（2）證明，，兩兩垂直后，以A為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，利用平面的法向量可求得結果.

（1）取的中點N，連接，，

∵M為的中點，∴且

又， ，所以且，

所以四邊形是平行四邊形，

從而，又平面，平面，

所以平面.

（2）取的中點P，連接，，

∵四邊形為菱形，又，易知.

又面面，面面，

∴平面，

故，，兩兩垂直

以A為原點，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系（如圖所示），不妨設.

則，，，，，，

，，

設平面的法向量為，

由，得，

可得平面的一個法向量，

設平面的法向量為，

由，得，

可得平面的一個法向量.

∴

所以二面角的余弦值為.