Question

  某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交a元（3≤a≤5）的管理費，預計當每件產品的售價為x元（9≤x≤11）時，一年的銷售量為（12-x）²萬件.

（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；

（2）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）.

Answer 1

（1）L=(x-3-a)(12-x)²,x∈［9,11］.（2）Q(a)=4（3-a）³

解析:

  （1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數關系式為：L=(x-3-a)(12-x)²,x∈［9,11］.

(2)L′(x)=(12-x)²-2(x-3-a)(12-x)

=(12-x)(18+2a-3x).

令L′=0得x=6+a或x=12（不合題意，舍去）.

∵3≤a≤5,∴8≤6+a≤.

在x=6+a兩側L′的值由正變負.

所以①當8≤6+a＜9即3≤a＜時，

L_max=L(9)=(9-3-a)(12-9)²=9(6-a).

②當9≤6+a≤即≤a≤5時，

L_max=L(6+a)=(6+a-3-a)［12-(6+a)］²

=4(3-a)³.

所以Q(a)=

答  若3≤a＜，則當每件售價為9元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9(6-a)（萬元）；若≤a≤5，則當每件售價為(6+a)元時，分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)=4（3-a）³(萬元).