Question

某分公司經銷某種品牌的產品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向總公司交a（3≤a≤5）元的管理費，預計當每件產品的售價為x（9≤x≤11）元時，一年的銷售量為（12-x）²萬件．
（1）求分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；
（2）當每件產品的售價為多少元時，分公司一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）．

Answer 1

分析：（1）根據題意先求出每件產品的利潤，再乘以一年的銷量，便可求出分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；
（2）根據L與x的函數關系式先求出該函數的導數，令L′（x）=0便可求出極值點，從而求出時最大利潤，再根據a的取值范圍分類討論當a取不同的值時，最大利潤各為多少．

解答：解：（1）分公司一年的利潤L（萬元）與售價x的函數關系式為：
L=（x-3-a）（12-x）²，x∈[9，11]．
（2）L′（x）=（12-x）²+2（x-3-a）（12-x）×（-1）=（12-x）²-2（x-3-a）（12-x）=（12-x）（18+2a-3x）．
令L′（x）=0得x=6+

2

3

a或x=12（不合題意，舍去）．
∵3≤a≤5，∴8≤6+

2

3

a≤

28

3

．
在x=6+

2

3

a兩側L′的值由正值變負值．
所以，當8≤6+

2

3

a≤9，即3≤a≤

9

2

時，
L_max=L（9）=（9-3-a）（12-9）²=9（6-a）；
當9＜6+

2

3

a≤

28

3

，即

9

2

＜a≤5時，
L_max=L（6+

2

3

a）=（6+

2

3

a-3-a）[12-（6+

2

3

a）]²
=4（3-

1

3

a）³，
Q(a)=

9(6-a)3≤a≤ 9 2 4(3- 1 3 a)3 9 2 ＜a≤5

即當3≤a≤

9

2

時，當每件售價為9元，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=9（6-a）萬元；
當

9

2

＜a≤5時，當每件售價為（6+

3

2

a）元，分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=4（3-

1

3

a）³萬元．

點評：本題主要考查了函數的導數的求法以及利用導數來求得函數的最值問題，是各地高考的熱點和難點，解題時注意自變量的取值范圍以及分類討論等數學思想的運用，屬于中檔題．