Question

（2011•閘北區二模）某分公司經銷某種品牌產品，每件產品的成本為2元，并且每件產品需向總公司交a元（2≤a≤6）的管理費，預計當每件產品的銷售價為x元（7≤x≤9）時，一年的銷售量為（12-x）萬件．
（1）求該分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；
（2）當每件產品的售價為多少元時，該分公司一年的利潤L最大，并求L的最大值Q（a）．

Answer 1

分析：（1）根據題意先求出每件產品的利潤，再乘以一年的銷量，便可求出分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；
（2）根據L與x的函數關系式先求出該函數的導數，令L′（x）=0便可求出當x=

a+14

2

時，利潤最大，再根據a的取值范圍分類討論當a取不同的值時，最大利潤各為多少．

解答：解：（1）該分公司一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式為：
L=（x-a-2）（12-x），x∈[7，9]．…（6分）
（2）當2≤a＜4時，此時，8≤

a+14

2

＜9，
所以，當x=

a+14

2

時，L的最大值Q(a)=

(10-a)2

4

，…（3分）
當4≤a≤6時，此時，9≤

a+14

2

≤10，
所以，當x=9時，L的最大值Q（a）=3（7-a）．…（3分）
答：若2≤a＜4，則當每件產品售價為

a+14

2

元時，該分公司一年的利潤L最大，最大值Q(a)=

(10-a)2

4

；若4≤a≤6，則當每件產品售價為9元時，該分公司一年的利潤L最大，最大值Q（a）=3（7-a）．       …（2分）

點評：本題主要考查了函數的導數的求法以及利用導數來求得函數的最值問題，是各地高考的熱點和難點，解題時注意自變量的取值范圍以及分類討論等數學思想的運用，屬于中檔題．