Question

(本小題滿分12分)

如圖,四棱錐S-ABCD的底面是矩形，ABa，AD2，SA1，且SA⊥底面ABCD，若

邊BC上存在異于B，C的一點P，使得．

（1）求a的最大值；

（2）當a取最大值時，求平面SCD的一個單位法向量

及點P到平面SCD的距離．

Answer 1

（本小題滿分12分）

 解：建立如圖所示的空間直角坐標系,則各點坐標分別為:

        A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,1)，設P(a,x,0) (0<x<2)

      (1) ∵………2分

∴由得: ×=0,

即：     ………4分

∴當且僅當x=1時，a有最大值為1．

此時P為BC中點．                ………6分

      (2) 設是平面SCD的一個法向量， 由(1)知：

∴由得

∴平面SCD的一個單位法向量

又在方向上的投影為

∴點P到平面SCD的距離為．                           ………12分