Question

已知兩點(diǎn)A（-1，3），B（3，1），點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上，若∠ACB=60°，則點(diǎn)C有（　�。�

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：如圖所示：利用圓外角小于直角即可得出有4點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上滿足∠ACB=60°．

解答：解：設(shè)線段AB的中點(diǎn)為M（m，n），則

m= -1+3 2 =1 n= 3+1 2 =2

，
∴M（1，2）．
又|BM|=

(3-1)2+(1-2)2

=

5

．
∴以點(diǎn)M為圓心，

5

為半徑的圓的方程為（x-1）²+（y-2）²=5．
令x=0，解得y=0或4，得到與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（0，4）．
同理與x軸也有兩個(gè)交點(diǎn)（0，0），（0，2）．
如圖所示，⊙M與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交于三個(gè)點(diǎn)．
根據(jù)圓外角小于直角，因此在原點(diǎn)的左側(cè)一定存在一點(diǎn)C（圖中的P）使得∠APB=60°＜∠ANB=90°，
同理在x軸的正半軸上也存在一點(diǎn)C滿足條件．
同理在y軸上也存在兩點(diǎn)C滿足條件．
綜上可知：有4點(diǎn)C在坐標(biāo)軸上滿足∠ACB=60°．
故選：D．

點(diǎn)評：本題考查了圓外角小于直角的性質(zhì)，屬于難題．