Question

【題目】已知函數，．

（1）若在處取得極值，求的值；

（2）設，試討論函數的單調性；

（3）當時，若存在正實數滿足，求證：．

Answer 1

【答案】（1）1（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求出函數的導數，根據求出a的值，再進行檢驗；

（2）求出函數g（x）的導數，通過討論a的范圍，判斷函數的單調性；；

（3）結合已知條件與對數的運算性質，得．令，構造函數，然后利用導數判斷函數單調性得，進而得證．

（1）因為，所以，因為在處取得極值，所以，解得．

驗證：當時，，易得在處取得極大值．

（2）因為，

所以．

①若，則當時，，所以函數在上單調遞增；

當時，，函數在上單調遞減．

②若，，

當時，易得函數在和上單調遞增，在上單調遞減；

當時，恒成立，所以函數在上單調遞增；

當時，易得函數在和上單調遞增，在上單調遞減．

（3）證明：當時，，

因為，所以，

即，所以．

令，，則，

當時，，所以函數在上單調遞減；

當時，，所以函數在上單調遞增．

所以函數在時，取得最小值，最小值為． 所以，

即，所以或．

因為為正實數，所以．

當時，，此時不存在滿足條件，

所以．