Question

【題目】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M、N分別在AB1、BC1上，且AM=AB1，BN=BC1，則下列結論：①AA1⊥MN；②A1C1// MN；③MN//平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN，其中，

正確命題的個數是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】B

【解析】

由題意在四條棱A1A，B1B，C1C，D1D上分別取點G，F，E，H四點，使AGA1A，BFB1B，CEC1C，DHD1D，得到平面GFEH，則點M，N在與平面A1B1C1D1平行的平面GFEH中．利用線面垂直的性質判斷①正確；利用平行公理判斷②錯誤；利用面面平行的性質判斷③正確；利用面面平行以及線線垂直的性質判斷④錯誤．

在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的四條棱A1A，B1B，C1C，D1D上分別取點G，F，E，H四點，

使AGA1A，BFB1B，CEC1C，DHD1D，連接GF，FE，EH，HG，

∵點M、N分別在AB1、BC1上，且AMAB1，BNBC1，

∴M在線段GF上，N點在線段FE上．且四邊形GFEH為正方形，平面GFEH∥平面A1B1C1D1，

∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥平面GFEH，

∵MN平面GFEH，∴AA1⊥MN，故①正確；

∵A1C1∥GE，而GE與MN不平行，∴A1C1與MN不平行，故②錯誤；

∵平面GFEH∥平面A1B1C1D1，MN平面GFEH，∴MN∥平面A1B1C1D1，故③正確；

∵B1D1∥FH，FH平面GFEH，MN平面GFEH，且MN與FH不垂直，∴B1D1與MN不垂直，故④錯誤．

∴正確命題只有①③．

故選：B．