Question

【題目】橢圓C： + =1（a＞b＞0）的離心率為 ，過左焦點任作直線l，交橢圓的上半部分于點M，當l的斜率為 時，|FM|= ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上兩點A，B關于直線l對稱，求△AOB面積的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意∴ ），∴ ，

又∵ ，解得a2=3，b2=2．

∴橢圓C的方程為： ．

（2）

解：依題意直線l不垂直x軸，

當直線l的斜率k≠0時，可設直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0）

則直線AB的方程為：y=﹣ ．

聯立 ，得 ．

， …①．

設AB的中點為C，則xC= ．

點C在直線l上，∴ ，m=﹣2k﹣ …②

此時 與①矛盾，故k≠0時不成立．

當直線l的斜率k=0時，A（x0，y0），B（x0，﹣y0） （x0＞0，y0＞0）

△AOB面積s= ．

∵ ，∴ ．．

∴△AOB面積的最大值為 ，當且僅當 時取等號．

【解析】（1）根據離心率及弦長構造方程組，求得a，b． （2）當直線l的斜率k≠0時，可設直線l的方程為：y=k（x+1）（k≠0）
聯立直線與橢圓方程，由△＞0得到k，m的關系式，再由對稱性求得k，m的關系式，此時k不存在．
當直線l的斜率k=0時，A（x0 ， y0），B（x0 ， ﹣y0） （x0＞0，y0＞0）△AOB面積s= ．
由均值不等式求解．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用橢圓的標準方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：．