Question

如圖，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面，，為上一點，且.
（1）證明：平面；
（2）若，求四棱錐的體積.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）.

試題分析：（1）因為底面，所以有，因此欲證平面，只要證，而這一點可通過連結，利用菱形的性質及勾股定理解決.
（2）欲求四棱錐的體積.，必須先求出,連結，設，在利用余弦定理求出，由三個直角三角形，依據勾股定理建立關于的方程即可.
解：（1）如圖，因為菱形，為菱形中心，連結，則，因，故

又因為，且，在中


所以，故
又底面，所以,從而與平面內兩條相交直線都垂直，所以平面
（2）解：由（1）可知，
設，由底面知，為直角三角形，故

由也是直角三角形，故
連結，在中,

由已知，故為直角三角形，則

即，得，（舍去），即
此時

所以四棱錐的體積