Question

【題目】已知函數，，給出如下四個命題：

①的單調遞增區間為；

②時，的極小值點為；

③時，在上存在唯一零點；

④若在（為自然對數的底數）上的最小值為3，則．

其中的真命題有______．（填上你認為所有正確的結論序號

Answer 1

【答案】②④

【解析】

求出函數的定義域以及導函數，根據的取值范圍以及函數的單調性與導數的關系可判斷①；根據極小值點的定義可判斷②；根據零點存在性定理可判斷③；根據函數的單調性可判斷④.

函數的定義域為，，

當時，，函數在上單調遞增，

當時，，解得，函數的單調遞增區間為，故①錯誤；

當時，，令，解得，即函數在上單調遞增，

令，解得，函數在單調遞減，

所以的極小值點為，故②正確；

當時，由，

當時，函數有唯一一個零點；

當時，函數的單調遞增區間為，

單調遞減區間為，，

當時，即時，函數有兩個零點；

時，僅有一個零點；，函數無零點，故③錯誤；

當時，函數在上單調遞增，則，

解得，顯然不成立；

當時，函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為，

當時，即，，解得，成立；

當，即，，解得，顯然不成立，

故④正確；

故答案為：②④