Question

【題目】如圖，五面體中，四邊形是菱形， 是邊長為2的正三角形， ， ．

（1）證明： ；

（2）若點在平面內的射影，求與平面所成的角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】試題分析：（1）要證，可由平面證得，只需證明和即可；

（2）分析條件可得點在平面內的射影必在上， 是的中點，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量即可.

試題解析：

解：（1）如圖，取的中點，連

因為是邊長為的正三角形，所以

又四邊形是菱形， ，所以是正三角形

所以

而，所以平面

所以

（2）由（1）知，平面⊥平面

因為平面與平面的交線為，

所以點在平面內的射影必在上，

所以是的中點

如圖所示建立空間直角坐標系，

，

所以， ，

設平面的法向量為，則

，取，則， ，

即平面的一個法向量為

所以與平面所成的角的正弦值為