Question

（1）已知x＞-1，n∈N^*，求證：（1+x）ⁿ≥1+nx
（2）已知m＞0，n∈N^*，e^x≥m+nx對于x∈R恒成立，求m與n滿足的條件，并求當n=1時m的值．
（3）已知x≤n，n∈N^*．求證：n-n（1-

x

n

）ⁿ•e^x≤x²．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（1）設f（x）=（1+x）ⁿ-（1+nx），對函數f（x）求導，得出最小值為f（0）=0；
（2）設M（x₀，y₀），得出切線方程，由m≤n（1-lnn），m＞0，得出n=1時，m是（0，1]上的任意一個值．
（3）由n-n(1-

x

n

)n•ex≤x2n-x2≤n(1-

x

n

)2•ex當x∈(-∞，-

n

]∪[

n

，n]時，n-x²≤0，n(1-

x

n

)n•ex≥0不等式成立，從而問題解決．

解答： 解  （1）設f（x）=（1+x）ⁿ-（1+nx），
則f′（x）=n（1+x）^n-1-n，
∴f（x）在（-1，0）遞減，在（0，+∞）上遞增，
故最小值為f（0）=0得證．
（2）設M（x₀，y₀），
在M處的切線方程：y=ex0x-x0ex0+ex0
則有：n=ex0且m=-x0ex0+ex0
∴m≤n（1-lnn），m＞0，n∈N^*
故n=1時，m是（0，1]上的任意一個值．
（3）n-n(1-

x

n

)n•ex≤x2n-x2≤n(1-

x

n

)2•ex
當x∈(-∞，-

n

]∪[

n

，n]時，
n-x²≤0，n(1-

x

n

)n•ex≥0不等式成立．
當x∈(0，

n

)時 
 n[(1-

x

n

)•e

x

n

]n≥n[(1-

x

n

)(1+

x

n

)]nn[(1-

x

n

)•e

x

n

]n≥n(1-

x2

n2

)n≥n(1-

x2

n

)≥n-x2．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，不等式的證明，是一道綜合題．