Question

（2010•成都一模）已知在4支不同編號的槍中有3支已經試射校正過，1支未經試射校正．某射手若使用其中校正過的槍，每射擊一次擊中目標的概率為

4

5

；若使用其中未校正的槍，每射擊一次擊中目標的概率為

1

5

，假定每次射擊是否擊中目標相互之間沒有影響．
（I）若該射手用這3支已經試射校正過的槍各射擊一次，求目標被擊中的次數為奇數的概率；
（II）若該射手用這4支搶各射擊一次，設目標被擊中的次數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（I）根據n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率公式求出目標被擊中的次數為1與3的概率，最后根據互斥事件的概率進行求解即可；
（II）ξ可能的取值為0，1，2，3，4，然后利用n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率分別求出相應的概率，列出分布列，最后利用數學期望公式解之即可．

解答：解：（I）記“該射手用這3支已經試射校正過的槍各射擊一次，目標被擊中的次數為i”為事件A_i（i=0，1，2，3），且彼此互斥；記“該射手用這3支已經試射校正過的槍各射擊一次，目標被擊中的次數為奇數”為事件B．
∵P（A₁）=

C

1 3

(

4

5

)1(

1

5

)2=

12

125

，P（A₃）=

C

3 3

(

4

5

)3=

64

125

∴P（B）=P（A₁）+P（A₃）=

12

125

+

64

125

=

76

125

答：目標被擊中的次數為奇數的概率為

76

125

．
（II）ξ可能的取值為0，1，2，3，4
∵P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

5

)3×

4

5

=

4

625

P（ξ=1）=

C

1 3

4

5

×(

1

5

)2×

4

5

+

C

0 3

(

1

5

)3×

1

5

=

49

625

P（ξ=2）=

C

2 3

(

4

5

)2× 

1

5

×

4

5

+

C

1 3

4

5

×(

1

5

)2×

1

5

=

204

625

P（ξ=3）=

C

3 3

(

4

5

)3×

4

5

+

C

2 3

(

4

5

)2×

1

5

×

1

5

=

304

625

P（ξ=4）=

C

3 3

(

4

5

)3×

1

5

=

64

625

∴ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	4 625	49 625	204 625	304 625	64 625

∴Eξ=0×

4

625

+1×

49

625

+2×

204

625

+3×

304

625

+4×

64

625

=

13

5

答：隨機變量ξ的數學期望為

13

5

．

點評：本題主要考查了n次獨立重復試驗中恰好發生k次的概率，以及離散型隨機變量的期望與分布列，同時考查了計算能力，屬于中檔題．