Question

【題目】【2018屆江蘇省泰州中學高三12月月考】已知橢圓的中心為坐標原點，橢圓短軸長為，動點（）在橢圓的準線上.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求以為直徑且被直線截得的弦長為的圓的方程；

（3）設是橢圓的右焦點，過點作的垂線與以為直徑的圓交于點，求證：線段的長為定值，并求出這個定值.

Answer 1

【答案】(1) (2) 圓的方程為 (3)

【解析】試題分析：（1）由已知可得b，又M在準線上，可得a,c關系，解方程即可求出a，寫出橢圓標準方程；（2）利用直線與圓相交所得弦心距、半弦長、半徑所成直角三角形可得出圓的方程；（3）由平幾知： ，將OK,OM表示出來，代入上式整理即可求出線段的長為定值2.

試題解析：

（1）由，得

又由點在準線上，得，故，∴從而

所以橢圓方程為

（2）以為直徑的圓的方程為

其圓心為，半徑

因為以為直徑的圓被直線截得的弦長為

所以圓心到直線的距離

所以，解得

所以圓的方程為

（3）由平幾知：

直線： ，直線：

由得∴

所以線段的長為定值