Question

【題目】若函數滿足：在定義域內存在實數，使得成立，則稱函數為“的飽和函數”.給出下列四個函數：①；②； ③；④.其中是“的飽和函數”的所有函數的序號是______________.

Answer 1

【答案】②④

【解析】①f（x）=，D=（﹣∞，0）∪（0，+∞），

若f（x）=是“1的飽和函數”，

則存在非零實數x0，使得=，

即x02+x0+1=0，

因為此方程無實數解，

所以函數f（x）=不是“1的飽和函數”．

②f（x）=2x，D=R，則存在實數x0，使得2x0+1=2x0+2，解得x0=1，

因為此方程有實數解，

所以函數f（x）=2x是“1的飽和函數”．

③f（x）=lg（x2+2），若存在x，使f（x+1）=f（x）+f（1）

則lg[（x+1）2+2]=lg（x2+2）+lg3

即2x2﹣2x+3=0，

∵△=4﹣24=﹣20＜0，故方程無解．

即f（x）=lg（x2+2）不是“1的飽和函數”．

④f（x）=cosπx，存在x=，使得f（x+1）=f（x）+f（1），

即f（x）=cosπx是“1的飽和函數”．

故答案為：②④．