Question

【題目】已知函數f(x)＝sin（－x）sin x－cos2x.

(1)求f(x)的最小正周期和最大值；

(2)討論f(x)在（）上的單調性．

Answer 1

【答案】(1)最小正周期π，最大值； (2)見解析

【解析】試題分析：（1）由條件利用誘導公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及輔助角公式化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期公式可得函數的周期，根據三角函數的有界性求得的最大值；（2）根據可得，利用正弦函數的單調性，分類討論求由， 可求得在上的單調區間.

試題解析：(1)f(x)＝sin(－x)sin x－cos2x＝cos xsin x－ (1＋cos 2x)

＝sin 2x－cos 2x－＝sin(2x－)－，

因此f(x)的最小正周期為π，最大值為.

(2)當x∈，時，0≤2x－≤π，從而

當0≤2x－≤，即≤x≤時，f(x)單調遞增；

當≤2x－≤π，即≤x≤時，f(x)單調遞減．

綜上可知，f(x)在，上單調遞增；在，上單調遞減．