Question

已知點(diǎn)O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，滿足；

OA

+

OB

+

OC

=

0

，|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=

3

，又

PC

=2

BP

，則

AP

•

AB

=

7.5

_

Answer 1

分析：可判三角形為等邊三角形，由正弦定理可得向量夾角的正弦值，進(jìn)而可得余弦值，由數(shù)量積的定義可得答案．

解答：解：∵|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|=

3

，∴O為△ABC的重心，
又

OC

•

AB

=

OC

•(

OB

-

OA

)=-(

OA

+

OB

)•(

OB

-

OA

)
=(

OA

+

OB

)•(

OA

-

OB

)=

OA

2-

OB

2=0可得

OC

⊥

AB

，
同理可得

OA

⊥

BC

，

OB

⊥

AC

，即O為垂心，
故△ABC為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為3
又

PC

=2

BP

，故P為邊BC的三等分點(diǎn)，
在直角三角形ADP中，易得AP=

AD2+PD2

=

( 3 3 2 )2+( 1 2 )2

=

7

，
進(jìn)而可得sin∠APB=sin∠APD=

AD

AP

=

3 3

2 7

故在△ABP中，由正弦定理可得

BP

sin∠BAP

=

AB

sin∠APB

，
代入可得

1

sin∠BAP

=

3

3 3 2 7

，解得sin∠BAP=

3

2 7

，所以cos∠BAP=

5

2 7

故

AP

•

AB

=

7

×3×

5

2 7

=7.5
故答案為：7.5

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積，涉及三角形形狀的判斷和正弦定理，屬中檔題．