Question

已知函數f（x）=x+

a

x

，
（1）證明函數f（x）是奇函數；
（2）若a=1，求證函數在區間[1，+∞）上單調遞增；
（3）若函數在區間[1，+∞）上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）函數的定義域是x∈R，且x≠0，又f（-x）=（-x）+

a

-x

=-（x+

a

x

）=-f（x），所以f（x）是奇函數；
（2）當a=1時，任取x₁，x₂∈[1，+∞），且1≤x₁＜x₂，則f（x₂）-f（x₁）=（x₂+

1

x2

）-（x₁+

1

x1

）=（x₂-x₁）+

x1-x2

x1x2

=

(x2-x1)(x1x2-1)

x1x2

；
∵x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，∴x₁x₂-1＞0，∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴函數在區間[1，+∞）上是增函數；
（3）因為函數在區間[1，+∞）上是增函數，設1≤x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，
所以f（x₂）-f（x₁）=（x₂+

a

x2

）-（x₁+

a

x1

）=（x₂-x₁）+

a(x1-x2)

x1x2

=

(x2-x1)(x1x2-a)

x1x2

＞0，
∴x₁x₂-a＞0，
∴a＜x₁x₂，故a≤1，所以a的取值范圍是：[1，+∞）．