Question

已知定義域為R的函數f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函數，
（1）求a值，并判斷f（x）的單調性（不需證明）；
（2）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

（1）∵定義域為R的函數f(x)=

-2x+a

2x+1

是奇函數，
∴f(0)=

-1+a

2

=0，
∴a=1，
∴f(x)=

1-2x

1+2x

經驗證，f（x）為奇函數，
∴a=1，
函數f（x）為減函數．
（2）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函數，
∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（1），f（x）是減函數，
∴原問題轉化為t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0對任意t∈R恒成立
∴△=4+12k＜0，
得k＜-

1

3

即為所求．