Question

設F₁，F(xiàn)₂是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的兩個焦點，離心率為

5

2

，P是雙曲線上一點，若∠F₁PF₂=90°，S△F1PF2=1，則雙曲線的漸近線方程是

y=±

1

2

x

，該雙曲線方程為

x2

4

-y2=1

．

Answer 1

分析：設出雙曲線方程，利用雙曲線的定義列出一個等式，在△F₁PF₂中利用勾股定理得到一個等式，利用三角形的面積公式得一方程，利用雙曲線的離心率公式得一方程，解方程組求出雙曲線的方程即可．

解答：解：不妨設點P在雙曲線的右支上，
設雙曲線的方程為

x2

a2

-

y2

b2

=1，|PF₁|=m，|PF₂|=n則有
m-n=2a①
∠F₁PF₂=90⁰
由勾股定理得
m²+n²=4c²②
∵S△PF1F2=1
∴

1

2

mn=1③
∵離心率為2
∴

c

a

=

5

2

④
解①②③④a=2，c=

5

∴b²=c²-a²=1
則雙曲線的漸近線方程是 y=±

1

2

x，該雙曲線方程為

x2

4

-y2=1．
故答案為：y=±

1

2

x；

x2

4

-y2=1．

點評：求圓錐曲線的方程問題，一般利用的方法是待定系數(shù)法；解圓錐曲線上的一點與兩個焦點構成的焦點三角形問題，一般考慮余弦定理及三角形的面積公式．