Question

設a＞0，b＞0，且4a+b=3ab，則a+4b的最小值是（　　）

• A、8
• B、

  25

  3

• C、9
• D、

  28

  3

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,基本不等式

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：由a＞0，b＞0，且4a+b=3ab，可得a=

b

3b-4

＞0，b＞

4

3

．令a+4b=

b

3b-4

+4b=f（b），利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵a＞0，b＞0，且4a+b=3ab，∴a=

b

3b-4

＞0，∴b＞

4

3

．
∴a+4b=

b

3b-4

+4b=f（b），
則f′（b）=4-

4

(3b-4)2

=

12(b-1)(3b-5)

(3b-4)2

，
令f′（b）=0，又b＞

4

3

，解得b=

5

3

．
當

4

3

＜b＜

5

3

時，f′（b）＜0，函數f（b）單調遞減；當b＞

5

3

時，f′（b）＞0，函數f（b）單調遞增．
∴當b=

5

3

時，f（b）取得極小值即最小值，f(

5

3

)=

5 3

3× 5 3 -4

+4×

5

3

=

25

3

．
故選：B．

點評：本題考查了不等式的性質、利用導數研究其單調性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．