Question

已知x₁，x₂是關于x的一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0的兩個實數根．
（1）求實數k的取值范圍；
（2）求使

x1

x2

+

x2

x1

-2的值為整數的實數k的整數值．

Answer 1

分析：（1）利用方程有兩個實數根，可得判別式大于大于0，即可求得實數k的取值范圍；
（2）利用韋達定理計算

x1

x2

+

x2

x1

-2，進而轉化為k+1能整除4，即可求得結論．

解答：解：（1）∵一元二次方程4kx²-4kx+k+1=0有兩個實數根，
∴k≠0，且△=16k²-16k（k+1）=-16k≥0，
∴k＜0．------------（3分）
（2）∵

x1

x2

+

x2

x1

-2=

x12+x22

x1x2

-2=

(x1+x2)2-2x1x2

x1x2

-2=

(x1+x2)2

x1x2

-4
=

4k

k+1

-4=

4k-4(k+1)

k+1

=-

4

k+1

，------------------（7分）
∴要使

x1

x2

+

x2

x1

-2的值為整數，只須k+1能整除4．
而k為整數，∴k+1只能取±1，±2，±4．
又∵k＜0，∴k+1＜1，
∴k+1只能取-1，-2，-4，
∴k=-2，-3，-5．----------------（10分）

點評：本題考查韋達定理的運用，考查整除性，考查學生的計算能力，屬于中檔題．