Question

已知x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²-（m-1）x-（m-1）=0的兩個解，設y=f（m）=（x₁+x₂）²-x₁x₂，求函數y=f（m）的解析式及值域．

Answer 1

分析：根據韋達定理求出x₁+x₂=m-1和x₁•x₂=-m+1，并由△＞0求出m的范圍，代入再求出y=f（m）的解析式以及定義域，利用配方法求出函數的值域．

解答：解：由題意知，x₁，x₂是關于x的一元二次方程x²-（m-1）x-（m-1）=0的兩個解，
∴x₁+x₂=m-1，x₁•x₂=-m+1，且△=（m-1）²+4（m-1）≥0，解得m≤-3或m≥1，
∵y=f（m）=（x₁+x₂）²-x₁x₂，
∴y=f（m）=（m-1）²+m-1=m²-m=(m-

1

2

)2-

1

4

，
∵m≤-3或m≥1，∴當m=1時，函數取到最小值是0，
∴此函數的值域是[0，+∞）．

點評：本題考查了函數解析式和值域的求法，根據韋達定理和判別式的符號，分別求出函數的解析式和定義域，再利用配方法求出函數的值域．