Question

已知x₁，x₂是關于x的方程x²-ax+a²-a+

1

4

=0的兩個實根，那么

x1x2

x1+x2

的最小值為

0

，最大值為

1

4

．

Answer 1

分析：因為方程x²-ax+a²-a+

1

4

=0有兩個實根，所以△≥0，解出a的取值范圍；再利用根與系數的關系，可求出f（a）=

x1x2

x1+x2

=

a2-a+ 1 4

a

，再利用求導即可求出其最值．

解答：解：∵已知x₁，x₂是關于x的方程x²-ax+a²-a+

1

4

=0的兩個實根，
∴x₁+x₂=a，x1x2=a2-a+

1

4

；△≥0，即a2-4(a2-a+

1

4

)≥0，化為3a²-4a+1≤0，解得

1

3

≤a≤1．
令f（a）=

x1x2

x1+x2

=

a2-a+ 1 4

a

=a+

1

4a

-1，則f′(a)=1-

1

4a2

=

(2a+1)(2a-1)

4a2

，令f^′（a）=0，解得a=±

1

2

，
∵

1

3

≤a≤1，∴a=

1

2

．
當

1

3

≤a＜

1

2

時，f^′（a）＜0；當

1

2

＜a≤1時，f^′（a）＞0．
∴f（a）在區間[

1

3

，

1

2

)上單調遞減，在區間(

1

2

，1]上單調遞增．
∴f（a）在a=

1

2

時取得極小值即最小值f（

1

2

）=

1

2

+

1

2

-1=0；
而f（

1

3

）=

1

3

+

3

4

-1=

1

12

，f（1）=1+

1

4

-1=

1

4

，
∴f（a）的最大值是f（1）=

1

4

．
故所求的最小值是0，最大值是

1

4

．
故答案為0，

1

4

．

點評：本題考查了方程的根與系數的關系和利用導數求最值，掌握其方法是解決問題的關鍵．