Question

已知函數y=f（x）的圖象是由y=sinx圖象經過如下三個步驟變化得到的：
①將y=sinx的圖象的縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的

1

2

；
②將①中圖象整體向左平移

π

6

個單位；
③將②中的圖象的橫坐標不變，縱坐標伸長為原來的2倍．
（I）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，若f（A）=

3

，a=

2

，b+c=

6

，求△ABC面積．

Answer 1

考點：余弦定理,函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：解三角形

分析：（I）利用三角函數的變換法則確定出f（x），利用正弦函數的單調性即可確定出f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）由第一問確定出的f（x）解析式及f（A）=

3

，求出A的度數，利用余弦定理列出關系式，將a與cosA的值代入并利用完全平方公式變形，將b+c的值代入求出bc的值，即可確定出三角形ABC面積．

解答： 解：（I）變換①得到函數y=sin2x圖象，
變換②得到函數y=sin（2x+

π

3

）圖象，
變換③得到函數y=2sin（2x+

π

3

）圖象，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得到函數f（x）的單調遞增區間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈Z；
（II）∵f（A）=1，∴sin（2A+

π

3

）=

3

2

，
∵

π

3

＜2A+

π

3

＜

7π

3

，∴2A+

π

3

=

2π

3

，即A=

π

6

，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²-

3

bc=2，
整理得：（b+c）²-（2+

3

）bc=2，
又b+c=

6

，
∴bc=8-4

3

，
則S_△ABC=

1

2

bcsinA=2-

3

．

點評：此題考查了余弦定理，三角函數的圖象變換，正弦函數的單調性，以及三角形的面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．