Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率e=

5

3

，且直線y=x+

b

2

是拋物線y²=4x的一條切線．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的左頂點A的l交y軸于Q．與橢圓交于R，過原點O且平行于l的射線交橢圓于S．求證：|AQ|，

2

|OS|，|AR|成等比數列．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（1）利用直線y=x+

b

2

是拋物線y²=4x的一條切線，可求b，

c

a

=

5

3

，得a=3，c=

5

，即可求橢圓C的方程；
（2）求出Q的坐標，直y=k（x+3）代入橢圓方程，求出|AQ|、|AR|，y=kx代入橢圓方程，求出2|OS|²，即可得出結論．

解答： （1）解：因為直線y=x+

b

2

是拋物線y²=4x的一條切線，
所以方程（x+

b

2

）²=4x的△=0，
所以b=2…（2分）
又

c

a

=

5

3

，得a=3，c=

5

…（4分）
所以橢圓的方程為

x2

9

+

y2

4

=1…（5分）
（2）由題意可知直線l的斜率存在且不為零，
設直線l的方程為y=k（x+3），則Q（0，3k）…（6分）
由y=k（x+3）代入橢圓方程，得R（

12-27k2

4+9k2

，

24k

4+9k2

）…（7分）
所以|AQ|=3

1+k2

…（8分）
|AR|=

24

4+9k2

1+k2

…9分
所以|AQ||AR|=

72(1+k2)

4+9k2

…（10分）
設S（x₁，y₁），由y=kx代入橢圓方程，得x₁²=

36

4+9k2

，x₂²=

36k2

4+9k2

…（11分）
所以2|OS|²=

72(1+k2)

4+9k2

…（12分）
所以|AQ||AR|=2|OS|²，即：|AQ|，

2

|OS|，|AR|成等比數列…（13分）

點評：本題考查橢圓的方程，考查直線與橢圓的位置關系．考查等比數列，正確求出：|AQ|，

2

|OS|，|AR|是關鍵．