Question

（本小題滿分12分）已知橢圓C的中心為坐標原點O，焦點在y軸上，離心率，橢圓上的點到焦點的最短距離為, 直線l與y軸交于點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A、B，且.

（1）求橢圓方程；

（2）求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設C：＋＝1（a>b>0），設c>0，c²＝a²－b²，由條件知a-c＝，＝，………1分

∴a＝1，b＝c＝     ………………………………………3分

故C的方程為：y²＋＝1             ……………………………4分

（2）當直線斜率不存在時：      ……………………………………5分

當直線斜率存在時：設l與橢圓C交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）

得（k²＋2）x²＋2kmx＋（m²－1）＝0     …………………6分

Δ＝（2km）²－4（k²＋2）（m²－1）＝4（k²－2m²＋2）>0 （*）………………7分

x₁＋x₂＝， x₁x₂＝　        …………………………………8分

∵＝3 ∴－x₁＝3x₂ ∴

消去x₂，得3（x₁＋x₂）²＋4x₁x₂＝0，∴3（）²＋4＝0……………………9分

整理得4k²m²＋2m²－k²－2＝0　                      

m²＝時，上式不成立；m²≠時，k²＝，       …………………10分

∴k²＝0，∴或

高三數學（理工類）參考答案第3頁（共4頁）

把k²＝代入（*）得或

 ∴或          ……………………………………11分

綜上m的取值范圍為或 ……………………………12分

【解析】略