Question

（2012•臺州模擬）已知數列{a_n}滿足遞推式a_n=2a_n-1+1（n≥2），其中a₄=15．
（Ⅰ）求證：數列{a_n+1}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）已知數列{b_n}有bn=

n

an+1

，求數列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（I）由已知中a_n=2a_n-1+1（n≥2），兩邊同加一，易得數列{a_n+1}是等比數列，結合a₄=15，求出數列{a_n+1}的首項，進而可求數列{a_n+1}的通項公式，進而可得數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）根據數列{b_n}中bn=

n

an+1

是等差數列的等比數列相乘的形式，故采用錯位相減法可求數列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵當n≥2時，a_n=2a_n-1+1，
∴a_n+1=2（a_n-1+1），
即數列{a_n+1}是一個公比為2的等比數列
又∵a₄+1=16，故a₁+1=2
故a_n+1=2ⁿ，故a_n=2ⁿ-1
（2）∵bn=

n

an+1

=

n

2n

∴S_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

…①
∴

1

2

S_n=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

…②
①-②得

1

2

S_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

∴S_n=2-

n+2

2n

點評：本題考查的知識點是數列的求和，等比數列的通項公式，其中（I）的關鍵是將已知兩邊同加一，進而判斷出數列{a_n+1}的公比，而（II）的關鍵是分析數列的通項公式，選擇適當的方法求和．