Question

【題目】設冪函數f（x）=（a﹣1）xk（a∈R，k∈Q）的圖象過點 ．
（1）求k，a的值；
（2）若函數h（x）=﹣f（x）+2b +1﹣b在[0，2]上的最大值為3，求實數b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：設冪函數f（x）=（a﹣1）xk（a∈R，k∈Q）的圖象過點 ．

則a﹣1=1，即a=2，此時f（x）=xk，

即 =2，即 =2，解得k=4

（2）解：∵a=2，k=4，

∴f（x）=x4，

則h（x）=﹣f（x）+2b +1﹣b=﹣x4+2bx2+1﹣b

=﹣（x2﹣b）2+1﹣b+b2，

設t=x2，則0≤t≤4，

則函數等價為g（t）=﹣（t﹣b）2+1﹣b+b2，

若b≤0，則函數g（t）在[0，4]上單調遞減，最大值為g（0）=1﹣b=3，即b=﹣2，滿足條件．

若0＜b≤4，此時當t=b時，最大值為g（b）=1﹣b+b2=3，

即b2﹣b﹣2=0，解得b=2或b=﹣1（舍）．

若b＞4，則函數g（t）在[0，4]上單調遞增，最大值為g（4）=3b﹣15=3，即3b=18，b=6，滿足條件

綜上b=﹣2或b=2或b=6

【解析】（1）根據冪函數的定義和性質進行求解即可求k，a的值；（2）若函數h（x）=﹣f（x）+2b +1﹣b在[0，2]上的最大值為3，利用換元法轉化一元二次函數，利用一元二次函數的性質即可求實數b的值．
【考點精析】利用二次函數的性質對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．