Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．
（1）當a=﹣ ，c= 時，求函數f（x）的單調區間；
（2）當c= +1時，若f（x）≥ 對x∈（c，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）設函數f（x）的圖象在點P（x1 ， f（x1））、Q（x2 ， f（x2））兩處的切線分別為l1、l2 ． 若x1= ，x2=c，且l1⊥l2 ， 求實數c的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數 ，求導得

當 ， 時， ，

若 ，則 恒成立，所以f（x）在 上單調減；

若 ，則 ，令f′（x）=0，解得 或 （舍），

當 時，f′（x）＜0，f（x）在 上單調減；

當 時，f′（x）＞0，f（x）在 上單調增．

所以函數f（x）的單調減區間是 ，單調增區間是

（2）解：當x＞c， 時， ，而 ，所以

當c＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上單調減；

當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上單調增．

所以函數f（x）在（c，+∞）上的最小值為 ，

所以 恒成立，解得a≤﹣1或a≥1，

又由 ，得a＞﹣2，所以實數a的取值范圍是（﹣2，﹣1]

（3）解：由l1⊥l2知， ，而 ，則 ，

若 ，則 ，所以 ，

解得 ，不符合題意；

故 ，則 ，

整理得， ，由c＞0得， ，

令 ，則 ，t＞2，所以 ，

設 ，則 ，

當 時，g′（t）＜0，g（t）在 上單調減；

當 時，g′（t）＞0，g（t）在 上單調增．

所以，函數g（t）的最小值為 ，故實數c的最小值為

【解析】（1）求函數的導數，利用函數單調性和導數之間的關系，即可求f（x）的單調區間；（2）若f（x）≥ 對x∈（c，+∞）恒成立，則只需求出f（x）的最小值即可；（3）由l1⊥l2知， ，得到 ，分類討論，再由導數與單調性的關系，即可得到實數c的最小值．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的極值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．