Question

【題目】已知函數(shù).

當(dāng)時(shí)，恒成立，求的值；

若恒成立，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最大值，從而求出a的值即可；

（2）把f（x）≤0恒成立，轉(zhuǎn)化為lnx≤ax+b恒成立，當(dāng)a≤0時(shí)顯然不滿足題意；當(dāng)a＞0時(shí)，要使lnx≤ax+b對(duì)任意x＞0恒成立，需要直線y＝ax+b與曲線y＝lnx相切，設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，把a，b用切點(diǎn)橫坐標(biāo)表示，得到a+blnx0﹣1（x0＞0），構(gòu)造函數(shù)g（x）lnx﹣1，利用導(dǎo)數(shù)求其最小值得答案．

解：（1）由，得，則.

∴.

若，則，在上遞增.

又，∴.當(dāng)時(shí)，不符合題意.

② 若，則當(dāng)時(shí)，，遞增；當(dāng)時(shí)，，遞減.

∴當(dāng)時(shí)，.

欲使恒成立，則需

記，則.

∴當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增.

∴當(dāng)時(shí)，

綜上所述，滿足題意的.

（2）由（1）知，欲使恒成立，則.

而恒成立恒成立函數(shù)的圖象不在函數(shù)圖象的上方，

又需使得的值最小，則需使直線與曲線的圖象相切.

設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，即..

∴ .

令，則.

∴當(dāng)時(shí)，，遞減；當(dāng)時(shí)，，遞增.

∴.

故的最小值為0.