Question

如圖，設雙曲線C₁：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上焦點為F，上頂點為A，點B為雙曲線虛軸的左端點，已知C_l的離心率為

2 3

3

，且△ABF的面積S=1-

3

2

．
（Ⅰ）求雙曲線C_l的方程；
（Ⅱ）設拋物線C₂的頂點在坐標原點，焦點為F，動直線l與C₂相切于點P，與C₂的準線相交于點Q試推斷以線段PQ為直徑的圓是否恒經過y軸上的某個定點M？若是，求出定點M的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知得

e= c a = 2 3 3 1 2 (c-a)b=1- 3 2 c2=a2+b2

，由此能求出雙曲線方程．
（Ⅱ）由題設，拋物線C₂的方程為x²=8y，準線方程為y=-2，由y=

1

8

x2，得y′=

1

4

x，設P（x0，

1

8

x02），則直線l的方程y=

1

4

x0x-

1

8

x02，聯立y=-2，得Q（

x02-16

2x0

，-2），假設存在定點M（0，m）滿足題設條件，由已知條件求出m=2，故以PQ為直徑的圓經過y軸上的定點M（0，2）．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線C₁：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上焦點為F，
上頂點為A，點B為雙曲線虛軸的左端點，
C_l的離心率為

2 3

3

，且△ABF的面積S=1-

3

2

，
∴

e= c a = 2 3 3 1 2 (c-a)b=1- 3 2 c2=a2+b2

，解得a=

3

，b=1．c=2，
∴雙曲線方程為

y2

3

-x²=1．
（Ⅱ）由題設，拋物線C₂的方程為x²=8y，準線方程為y=-2，
由y=

1

8

x2，得y′=

1

4

x，設P（x0，

1

8

x02），
則直線l的方程為y-

1

8

x02=

1

4

x0(x-x0)，
即y=

1

4

x0x-

1

8

x02，聯立y=-2，得Q（

x02-16

2x0

，-2），
假設存在定點M（0，m）滿足題設條件，
則

MP

•

MQ

=0對任意點P恒成立，
∵

MP

=(x0，

1

8

x02-m)，

MQ

=(

x02-16

2x0

，-2-m)，
則

x02-16

2

-(m+2)(

1

8

x02-m)=0，
即

2-m

8

x02+m(m+2)-8=0對任意實數x₀恒成立，
∴

2-m=0 m(m+2)-8=0

，解得m=2，
故以PQ為直徑的圓經過y軸上的定點M（0，2）．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查滿足條件的點的坐標是否存在的判斷與求法，解題時要認真審題，注意函數與方程思想的合理運用．