Question

在計算機的算法語言中有一種函數[x]叫做取整函數（也稱高斯函數），表示不超過x的最大整數，例如[2]=2，[3.3]=3，[-2.4]=-3，設函數f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

，則函數y=[f（x）]+[f（-x）]的值域為

{0，-1}

．

Answer 1

分析：由題意得，函數f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

是定義在R上的奇函數，值域為(-

1

2

，

1

2

)，且f（-x）的值域也是(-

1

2

，

1

2

)；分x＞0，x=0，x＜0時討論函數y的值即可．

解答：解：由題意，∵函數f(x)=

2x

1+2x

-

1

2

，∴f(-x)=

2-x

1+2-x

-

1

2

=

1

1+2x

-

1

2

；
∴f（-x）=-f（x），∴f（x）為奇函數．
又∵2^x＞0，∴1+2^x＞1，∴0＜

1

1+2x

＜1，∴-

1

2

＜

1

1+2x

-

1

2

＜

1

2

．
即-

1

2

＜f(-x)＜

1

2

，∴-

1

2

＜f(x)＜

1

2

．
當x=0時，f（x）=f（-x）=0，y=[f（x）]+[f（-x）]=0；
當x≠0時，若x＞0，0＜f(x)＜

1

2

，-

1

2

＜f(-x)＜0
∴y=[f（x）]+[f（-x）]=0+（-1）=-1；
若x＜0，y=[f（x）]+[f（-x）]=（-1）+0=-1，
∴函數y的值域為{0，-1}．
故答案應為{0，-1}．

點評：本題以高斯函數為素材，用求值域來考查指數函數的性質、函數的奇偶性、函數的取整問題，有一定的技巧性．